Шпаргалки (шпора) по математике

Математика:
Обозначения	Математика.
Действия со степенями	Математика.	Для любых x, у € R и а >О, b > О имеют место равенства.
Формулы сокращенного умножения	Математика.
Преобразование арифметических корней	Математика.
Числовые неравенства и их свойства	Математика.	По определению a < b, если a — b < 0. Неравенство b > a равносильно неравенству a < b. Это строгие неравенства.
Логарифмы и их преобразование	Математика.
Квадратное уравнение, квадратный трехчлен, формулы Виета	Математика.
Показательная функция, ее свойства и график	Математика.	Показательная функция у = ax (а > 0) определена при всех x € R и обладает свойствами.
Логарифмическая функция, ее свойства и график	Математика.	Логарифмическая функция у = loga x (а > 0, a # 1 ) определена только при х > 0 (у = loga x <=> х = аy) и обладает следующими свойствами.
Области определения степенных функций	Математика.
Решение уравнений	Математика.	При решении уравнении или неравенств чаше всего данное уравнение заменяется более простым равносильным уравнением. Паша цель состоит только в том, чтобы указать на некоторые наиболее эффективные такие замены.
Простейшие неравенства, содержащие знак модуля	Математика.	Простейшие неравенства с одним модулем можно решить способом раскрытия модуля но определению, по можно их свисти к простым системам или совокупности систем более коротким способом.
Иррациональные неравенства	Математика.	Основные иррациональные неравенства сводятся к системе или совокупности систем рациональных неравенств. Здесь мы ограничимся двумя неравенствами, содержащими только квадратные корни.
Показательные неравенства	Математика.	Решения основных показательных неравенств, помешенных в таблице, вытекают из свойств монотонности показательной функции. Ниже X — неизвестная или выражение.
Логарифмические неравенства	Математика.	Решения основных логарифмических неравенств, пометенных в таблице, вытекают из свойств монотонности логарифмической функции. Ниже X — неизвестная или выражение, М > О, N > 0.
Решение неравенств. Метод интервалов	Математика.	Целесообразно описать волну знаков стандартной рациональной функции и применение ее к методу интервалов.
Определение тригонометрических функций	Математика.
Свойства тригонометрических функций	Математика.
Тригонометрические формулы	Математика.
Основные тригонометрические уравнения	Математика.	Простейшие тригонометрические уравнения в общем случае решаются ни следующим формулам.
Основные определения, теоремы и формулы планиметрии	Математика.
Основные сведения из стереометрии	Математика.	Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей и этой плоскости.
Метод координат	Математика.
Векторы	Математика.	Вектором называется направленный отрезок. Длина соответствующего отрезка называется модулем вектора.
Дифференцирование	Математика.	Нахождение производных (дифференцирование) функций выполняется по определенным формулам и правилам, доказываемым в соответствующих учебниках.
Применение первой производной	Математика.
Последовательность. Прогрессии	Математика.
Интегрирование	Математика.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве	Математика.	Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.
Касательная плоскость к шару	Математика.
Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)	Математика.	Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями.
Перпендикулярность прямой и плоскости	Математика.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (формулировки и примеры)	Математика.
Объем цилиндра	Математика.
Свойства параллельных плоскостей	Математика.	Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
Теорема о боковой поверхности прямой призмы	Математика.	Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1, А2 ... Аn и В1, В2,... Вn, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов, называется призмой.
Перпендикуляр и наклонная плоскости	Математика.
Свойство противолежащих граней параллелепипеда	Математика.
Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример)	Математика.	Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых, и он перпендикулярен каждой из этих прямых.
Площадь боковой поверхности конуса	Математика.
Угол между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример)	Математика.	Любые две пересекающиеся прямые расположены в одной плоскости и образуют две пары смежных углов. Меньший из этих углов называется углом между пересекающимися прямыми.
Угол между прямой и плоскостью (формулировка и пример)	Математика.
Объем призмы	Математика.
Объем пирамиды	Математика.	Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания пирамиды на длину ее высоты.
Угол между двумя плоскостями (формулировка и пример)	Математика.
Площадь сферы	Математика.	Около сферы можно описать многогранник с достаточно большим числом граней, объем которого будет достаточно точно выражать объем шара (равного ), а площадь боковой поверхности многогранника — площадь сферы.
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла (формулировка и примеры)	Математика.	Две полуплоскости, имеющие общую граничную прямую и не лежащие в одной плоскости, называются двугранным углом. Эти полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая — ребром угла.
Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды	Математика.	Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника. Под центром многоугольника понимается центр вписанной или описанной окружностей.
Трехгранный и многогранный углы (формулировки и примеры)	Математика.
Площадь боковой поверхности цилиндра	Математика.
Призма	Математика.	Призма — частный случаи многогранника. Для получения призмы необходимо взять два многоугольника в плоскостях || , причем многоугольники должны быть совмещенными при параллельном переносе, и соответствующие вершины соединить отрезками.
Признак перпендикулярности плоскостей	Математика.	Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром: пары вертикальных углов равны, а сумма двух смежных углов равна 180°. Если один из четырех углов прямой, то три остальных также равны и прямые. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.
Прямая и правильная призма (формулировки и примеры)	Математика.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости (доказательство одного из них)	Математика.
Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед (формулировки и примеры)	Математика.	Параллелепипед можно считать пространственным аналогом параллелограмма. Параллелепипед -- это четырехугольная призма, у которой все грани — параллелограммы. Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани прямоугольники.
Признак параллельности плоскостей	Математика.	Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (не имеют общих точек). Признак параллельности двух плоскостей выражается следующей теоремой.
Пирамида	Математика.
Объем конуса	Математика.
Правильная пирамида (формулировки и примеры)	Математика.
Цилиндр	Математика.
Свойства изображения пространственных фигур на плоскости	Математика.	Пространственные фигуры мы изображаем на плоскости (на бумаге, доске и пр.), используя параллельное проектирование.
Признак параллельности прямой и плоскости	Математика.	Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются (не имеют общих точек).
Конус (формулировки и примеры)	Математика.
Признак параллельности прямых	Математика.	Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только одну.
Сфера и шар (формулировки и примеры)	Математика.	Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
Теорема о трех перпендикулярах	Математика.
Задача 1	Математика.	В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см. а апофема — 15 см. Найти боковое ребро.
Задача 2	Математика.	Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов — 8 см, вращается около этого катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Задача 3	Математика.	В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см. а сторона основания — 6 см. Найдите объем пирамиды.
Задача 4	Математика.	Образующая конуса, наклонена к плоскости основании под углом 30°, а его высота раина 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности.
Задача 5	Математика.	Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см, проведенною на расстоянии 9 см от центра.
Задача 6	Математика.	В основани пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один Hi катетом — 9 см, Найдите площадь сечения, проведенною через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.
Задача 7	Математика.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота — 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Задача 8	Математика.	Высота прямой призмы равна 10 см, а ее основанием является прямоугольник, стороны которого равны 8 см и 6 см. Найдите плошадь диагонального сечения.
Задача 9	Математика.	В правильной четырехугольной пирамиде высота равная 7 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
Задача 10	Математика.	Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Задача 11	Математика.	Основание четырехугольной призмы — квадрат со стороной 10 см, высота призмы 12 см. Диагональное сечение разбивает данную призму на две треугольные призмы. Найдите площади боковых поверхностей треугольных призм.
Задача 12	Математика.	Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.
Задача 13	Математика.	Шар с центром в точке О касается плоскости и точке A. Точка лежит и плоскости касания. Найдите объем шара. если AB = 21 см. а BO = 29 см.
Задача 14	Математика.	Сферу на расстоянии 8 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения ранен 15 см. Найдите площадь сферы.
Задача 15	Математика.	В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение через вершину С1и ребро АB. Найдите периметр сечения. Если сторона основании равна 24 см, а боковое ребро = 10 см.
Задача 16	Математика.	Осевым сечением цилиндр является, квадрат, диагональ которого равна см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
Задача 17	Математика.	В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда равна 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.
Задача 18	Математика.	В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту параллелепипеда.
Задача 19	Математика.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а апофема — 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.